2015浙江大学生村官行测备考指导：最大公约数和最小公倍数问题详解

公约数：几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个称为这几个自然数的最大公约数。

公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫做这几个自然数的公倍数。

一个数的最大公约数是其本身，最小约数是1。若两个数有共同的约数，则这个约数成为他它们的公约数，即“公用的约数”。一般来说，两个数的公约数不止一个，但是有限的，我们经常讨论最大的一个公约数，称为这两个数的最大公约数。

与公约数类似，两个数共同的倍数，称为公倍数。且这个公倍数不止一个，由于倍数可以无限大，所以我们把其中最小的一个公倍数，称为这两个数的最小公倍数。

二、最大公约数和最小公倍数的解题方法

(1)质因数分解法

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：

质因数分解法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，(24、60)=12。

把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

例如：求6和15的最小公倍数。先分解质因数，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6，15]=30。

(2)短除法

短除法：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求12、15、18的最小公倍数。

短除法的格式

短除法的本质就是质因数分解法，只是将质因数分解用短除符号来进行。