浙江行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题

例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人?

中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即：101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。

三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。

三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有

A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C

这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没了。而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。

例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。篮球和排球都喜欢的多少人?

中公教育解析：由题意可画图如下：

则有上述公式可知：

58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人

故喜欢篮球和排球的人有22人。

例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示：其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人，还有5人三种球都不喜欢，则篮球和排球都喜欢的多少人?

中公教育解析：本题和上题相比，较一般的三者容斥更为复杂。因为，题干中所出现的喜欢篮球、喜欢足球、喜欢排球的三种集合都是在全集100人中考查，且题干中出现了同时不属于这三种集合的元素。

中公点拨：此类型题的做法大家只要记住构造全集即可，题干中不知道的设为未知数。

外框的长方形代表全集，用I来表示，D代表同时不属于集合A，B，C三个集合的元素。构造全集I= A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C+D

由此可得本题：设篮球和排球都喜欢的有x人，则有

100=58+68+62-45-33-x+12+5

解得x=27。

中公教育提醒考生：容斥问题的关键在于计数时不能重复，不能漏掉。如三者容斥这种比较复杂的容斥问题可以现根据题意画出其图形(叫文氏图)，然后再根据公式及题干所求问题计算。